Однако эта, казалось бы, прекрасная способность человека к любому жизненному вопросу подходить как к решению математической задачи одновременно и наше слабое место — ведь цифрами, процентами и прочими исчисляемыми показателями можно спекулировать, порождая ложные выводы, конструируя смыслы, лишь мимикрирующие под правду. Этим успешно пользуются мошенники, недобросовестные политтехнологи, лжеучёные и прочие не очень приятные люди.

Но не всё так безнадёжно, как кажется: эту слабую сторону нашего мышления можно укрепить, если перестать принимать решения «неосознанно» и начать использовать математику как метод познания. «Владение математическим инструментарием позволит составить более глубокое, достоверное и осмысленное представление об окружающем мире, — заявляет Элленберг и добавляет: — Надеюсь, мне удастся показать вам, что математика помогает решать многие из задач — будь то политика, медицина, коммерция или богословие, — над которыми мы размышляем каждый день».

Из предисловия научного редактора

Во всех школьных кабинетах математики висят плакаты со словами Михаила Васильевича Ломоносова: «Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит». Книга Джордана ­Элленберга делает именно это — приводит ум в порядок. В предисловии автор обещает, что будет рассматривать простые, но при этом глубокие проблемы, и блистательно выполняет своё обещание.

Практически на пальцах, используя несложные рисунки, автор не только объясняет важные математические понятия, но тут же показывает, почему и как их необходимо использовать в повседневных рассуждениях об экономике, социальных отношениях и других сторонах жизни общества. Он наглядно демонстрирует опасности бездумной статистики, экстраполяции за пределы допустимого, упрощённого линейного мышления, заодно разъясняя множество идей из математического анализа, теории вероятностей, статистики и теории кодирования.

Вот простой пример. Всем ясно, что баскетболист хорошо пробивает штрафные, если доля попаданий у него велика. Давайте возьмём результаты какого-­нибудь чемпионата, ранжируем игроков по этому показателю, и лидером списка станет никому не известный спорт­смен, однажды вышедший на замену и удачно выполнивший свой единственный бросок: 1 из 1 — это 100 %, больше не бывает (кстати, ранжировать по сумме тоже не стоит: тогда, наоборот, преимущество получат те, кто сделал много бросков, даже если в среднем они были не очень удачны). Если кому-то этот пример кажется не слишком важным, заменим игроков на ­школы, а удачные попадания на выпускников, поступивших в хорошие университеты.

Автор приводит примеры из газетных статей, в которых неаккуратное использование математических понятий, даже самых простых, таких как проценты, приводит людей к дурацким выводам, и наглядно показывает, как этого следовало избежать. Особенно подробно он рассматривает такие тонкие проблемы, как множественное тестирование (необходимость учитывать количество сделанных попыток при оценке значимости желаемого результата), избирательные отчёты (результаты удавшихся опытов, например клинических испытаний, публикуются, а неудавшихся — нет, что искажает общую картину) и различные парадоксы, связанные с голосованием.

<…>

Это очень важная и нужная книга. Прочитав её, человек приобретает не только привычку к логическому мышлению, но иммунитет к внешне внушительной демагогии, основанной на жонглировании числами. По словам Роджера Бэкона, «человек, не знающий математики, не способен ни к каким другим наукам. Более того, он даже не способен оценить уровень своего невежества, а потому не ищет от него лекарства». Последнее особенно важно, и книга Джордана Элленберга — замечательный образец лекарства, которое так нам необходимо.

Михаил Гельфанд, доктор биологических наук, профессор, член Academia Europaea

Глава 4. Сколько это в мёртвых американцах?

Насколько серьёзен конфликт на Ближнем Востоке? Эксперт по вопросам борьбы с терроризмом Дэниел Баймен из Джорджтаунского университета приводит в Foreign Affairs холодные, безжалостные цифры: «Израильские военные сообщают, что с начала второй интифады (2000 год. — прим. автора) до конца октября 2005 года палестинцы убили 1 074 и ранили 7 520 израильтян, — для такой маленькой страны поразительные данные, пропорциональный эквивалент которых составляет 50 тысяч убитых и 300 тысяч раненых американцев». Такие подсчёты часто используются во время обсуждения ситуации в ближневосточном регионе. В декабре 2001 года палата представителей конгресса США заявила, что гибель 26 человек в ходе серии атак в Израиле «пропорциональна смерти 1 200 американцев». Ньют Гингрич писал в 2006 году: «Помните, что, когда Израиль теряет восемь человек, с учётом разницы в численности населения это эквивалентно потере почти 500 американцев». Не желая уступать авторам этих высказываний, Ахмед Мур написал в Los Angeles Times следующее: «Когда во время операции “Литой свинец” в секторе Газа Израиль убил 1 400 палестинцев — что пропорционально 300 тысячам американцев, — будущий президент Обама хранил молчание».

Риторика с использованием пропорций не является исключительным правом, закреплённым за Святой землёй. Джеральд Каплан писал в 1988 году: «За последние восемь лет погибли, ранены или похищены с обеих сторон противостояния около 45 тысяч никарагуанцев — это эквивалентно 300 тысячам канадцев или 3 миллионам американцев». Министр обороны США в период вьетнамской войны Роберт Макнамара сказал в 1997 году, что почти 4 миллиона погибших во время войны вьетнамцев «эквивалентны 27 миллионам американцев». Каждый раз, когда в небольшой ­стране погибает много людей, авторы редакционных статей достают свои логарифмические линейки и начинают пересчитывать число погибших в мёртвых американцах.

Вот как можно получить эти цифры. Погибшие от рук террористов 1 074 израильтянина составляют 0,015 % от общей численности населения Израиля (которая в период с 2000 по 2005 год составляла от 6 до 7 миллионов). Далее все эти эксперты приходят к выводу, что смерть 0,015 % американского населения (что составляет около 50 тысяч человек) имела бы в данном случае такой же эффект.

Это линеоцентризм в чистейшей форме! Согласно аргументации с использованием пропорций, количество израильских жертв — 1 074 человека — эквивалентно 7 700 испанцам или 223 тысячам китайцев, но всего 300 словенцам и одному или двум тувалуанцам.

Со временем (а может быть, с самого начала?) такая аргументация начинает рушиться. Когда в момент закрытия в баре остаются два человека и один из них сбивает с ног другого, это совсем не эквивалентно тому, что в это же время удар получают 150 миллионов американцев.

Ещё один пример. Все согласны с тем, что одно из самых страшных преступлений столетия — когда в 1994 году было уничтожено 11 % населения Руанды. Но мы не рассуждаем об этом кровопролитии так: «С точки зрения Европы сороковых это было в девять раз хуже холокоста». Малейшая попытка сделать это вызвала бы настоящее отвращение.

Вот одно из важнейших правил математической гигиены: когда вы проверяете на практике тот или иной математический метод, попробуйте выполнить одни и те же расчёты разными способами. Если получите в результате разные ответы, значит, с вашим методом что-то не так.

Возьмём такой пример. На железнодорожном вокзале Аточа в результате взрыва бомбы в 2004 году погибло 200 человек*. Каким был бы эквивалентный итог взрыва бомбы на Центральном железнодорожном вокзале в Нью-Йорке?

Численность населения Соединённых Штатов Америки в семь раз превышает численность населения Испании. Следовательно, если представить 200 человек как 0,0004 % от населения Испании, эквивалентный террористический акт в США привёл бы к гибели 1300 человек. С другой стороны, 200 человек составляют 0,006 % от населения Мадрида; пропорциональное увеличение этого количества с учётом численности населения Нью-Йорка, которая в два с половиной раза больше населения Мадрида, даёт 463 жертвы. Или нам ­следует сопоставить провинцию Мадрид со штатом Нью-Йорк? В таком случае мы получили бы цифру около 600 жертв. Такую неоднозначность результатов необходимо расценивать как тревожный сигнал: метод пропорций не внушает доверия.

Безусловно, нельзя полностью отбросить пропорции. Пропорции действительно важны! Если вы хотите выяснить, в каком регионе Америки наиболее остро стоит проблема заболеваемости раком мозга, нет смысла смотреть на штаты с самым большим количеством смертей от рака мозга. В таких штатах, как Калифорния, Техас, Нью-Йорк и Флорида, самый высокий уровень заболеваемости раком мозга, поскольку в них самая большая численность населения.

<…>

Следовательно, лучше анализировать относительные показатели — количество смертельных случаев как долю от общей численности населения. Например, вместо подсчёта общего количества смертей от рака мозга по штатам мы можем рассчитать долю людей, ежегодно умирающих от рака мозга, в общей численности населения штата. Южная Дакота занимает весьма неприятное первое место: в этом штате за год происходит 5,7 смертельного случая от рака мозга на каждые 100 тысяч человек, что существенно превышает средний показатель по стране, составляющий 3,4. После Южной Дакоты в этом списке следуют такие штаты, как Небраска, Аляска, Делавэр и Мэн. Создаётся впечатление, что существуют места, в которых лучше не жить, если не хочешь заболеть раком мозга. Тогда ­куда лучше переехать? В конце списка вы найдёте ­штаты Вайоминг, Вермонт, Северная Дакота, Гавайи и округ Колумбия.

А вот это уже странно. Почему в Южной Дакоте самый высокий уровень заболеваемости раком мозга, а в Северной Дакоте почти нет онкологических заболеваний? Почему в Вермонте вы были бы в безопасности, а в штате Мэн оказались бы под угрозой?

Даю ответ: дело не в том, что в Южной Дакоте что-то способствует возникновению рака мозга, а в Северной Дакоте делают всё, чтобы его предотвратить. У штатов, занявших первые и последние пять мест, есть нечто общее: там почти никто не живёт. Из девяти штатов и одного округа, оказавшихся в первых и последних строках списка, самый большой — штат Небраска, в настоящее время он борется со штатом Западная Вирджиния за 37-е место по численности населения. Создаётся впечатление, что проживание в маленьком штате или повышает, или существенно снижает риск заболеть раком мозга.

Поскольку это лишено смысла, нам лучше поискать другое объяснение.

В надежде понять, что происходит, предлагаю провести воображаемую игру, которую мы назовём «Кто лучше всех подбросит монету». Игра очень простая. Вы подбрасываете какое-то количество монет, а ­побеждает тот, у кого больше всего монет упадёт вверх лицевой стороной (аверс). Чтобы несколько разнообразить игру, представим, будто не у всех её участников одинаковое количество монет. У Малой команды всего по десять монет на человека, тогда как у Большой команды на каждого приходится по сто монет.

Если подсчитывать только абсолютное количество монет, упавших лицевой стороной вверх, одно можно утверждать почти наверняка: победителем станет кто‑то из Большой команды. Этот кто-то получит около 50 аверсов — показатель, который ни один участник Малой команды просто не сможет потянуть. Даже если в Малой команде было бы сто игроков, самый результативный из них получит восемь-девять монет, выпавших ­лицевой стороной вверх. (Я не собираюсь приводить здесь соответствующие расчёты, но, если вы захотите проверить мой результат, ключевым термином в данном случае будет «биномиальное распределение».)

Кажется, это крайне несправедливо! У Большой команды с самого начала имеется большое преимущество. Давайте вместо подсчёта абсолютного количества монет, выпавших той или иной стороной, будем определять победителя по относительной доле выпавших монет, что должно создать для двух команд более схожие условия.

Но этого не происходит. Как я уже сказал, если в Малой команде было бы сто игроков, минимум один из них мог бы выбить хотя бы восемь-девять аверсов. Следовательно, в результате он получит минимум 80 % монет, выпавших лицевой стороной вверх. А как насчёт Большой команды? Ни один из её игроков не получит 80 % орлов. Безусловно, физически такое возможно. Тем не менее этого не случится. На самом деле вам понадобилось бы около двух миллиардов игроков в составе Большой команды, чтобы появилась довольно высокая вероятность получения результата, свидетельствующего о серьёзном перевесе. Разве не об этом говорит ваше интуитивное представление о правдоподобии? Чем больше монет вы подбрасываете, тем выше вероятность того, что вы приблизитесь к результату 50 на 50.

Вы можете попытаться сами! Я так и сделал, и вот что произошло. Многократно подбрасывая десять монет подряд, как это сделали бы игроки Малой команды, я получил такую последовательность количества монет, выпавших лицевой стороной вверх:

4, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 3, 4, 5, 5, 9, 3, 5, 7, 4, 5, 7, 7, 9…

С сотней монет, как в случае Большой команды, я получил такую последовательность:

46, 54, 48, 45, 45, 52, 49, 47, 58, 40, 57, 46, 46, 51, 52, 51, 50, 60, 43, 45…

А в случае тысячи монет последовательность оказалась такой:

486, 501, 489, 472, 537, 474, 508, 510, 478, 508, 493, 511, 489, 510, 530, 490, 503, 462, 500, 494…

Честно говоря, я не подбрасывал тысячу монет. ­Вместо этого я поставил перед своим компьютером задачу смоделировать подбрасывание монет. Разве у кого-то найдётся время на тысячекратное подбрасывание монеты?

У одного человека нашлось. Математик из Южной Африки Джон Эдмунд Керрич получил опрометчивый совет посетить Европу ни больше ни меньше как в 1939 году. Его европейский семестр быстро превратился в заключение в концлагере в Дании. Там, где обычный узник, не столь увлечённый статистикой, коротал бы время, царапая на стене камеры прошедшие дни, Керрич подбрасывал монету (всего 10 тысяч раз) и подсчитывал количество выпаданий лицевой стороной вверх. Его результат стремился к 50 %, как будто под действием невидимых тисков.

<…>

Понимание того, что при многократном повторении эксперимента результаты стремятся к фиксированной средней величине, возникло не вчера. Данный факт известен почти столько же, сколько существует математическое изучение самой вероятности. Этот принцип сформулировал в XVI столетии Джироламо Кардано — правда, без всяких формальностей; и только в начале XIX века Симеон Дени Пуассон придумал для него выразительное название — «закон больших чисел» (Loi des grands nombres).

В начале XVIII столетия Якоб Бернулли предложил точную формулировку и математическое доказательство закона больших чисел. Теперь этот закон стал уже не наблюдением, а теоремой.

И данная теорема говорит нам, что игру Большой и Малой команд нельзя считать справедливой. Глупо, одна­ко, было бы делать вывод, что Малая команда «­лучше» справляется с подбрасыванием монет лицевой стороной вверх, даже когда она побеждает в каждой игре. Если найти средний показатель доли аверсов, выпавших у всех игроков Малой команды, вместо того чтобы рассматривать относительную долю результативного игрока, этот показатель окажется близким к 50 %, как и у Большой команды.

Определение результатов по абсолютному количеству аверсов даёт Большой команде неоспоримое преимущество; с другой стороны, использование относительных показателей так же сильно склоняет игру в пользу Малой команды. Чем меньше количество монет — в статистике это количество обозначается термином «размер выборки», — тем больше разброс значений относительной доли монет, выпавших лицевой стороной вверх.

Именно этот эффект делает результаты политических опросов менее надёжными, когда в них принимает участие меньшее количество избирателей. То же самое касается и рака мозга.

Опубликовано в журнале «Кот Шрёдингера» №4-5 (30-31) за апрель-май 2017 г.